در کاربرد محاوره ای ، یک فراکتال ، یک شکل هندسی چندپاره یا ناهموار است که می تواند به بخشهایی تقسیم شود که هر کدام از آنها (حداقل به طور تقریبی) یک کپی کاهش یافته از لحاظ اندازه، از کل شکل می باشد.این اصطلاح در سال 1975 توسط بنوا مندلبرات ابداع شده و از واژه لاتین fractus به معنی شکسته یا گسیخته مشتق شده است.

یک فراکتال به عنوان یک شکل هندسی ، به طور کلی خصوصیات زیر را داراست :

• دارای ساختاری ظریف در مقیاسهای کوچک دلخواه است.
• بی قاعده تر از آن است که با زبان سنتی هندسه اقلیدسی ، بسادگی توصیف شود.
• خود مشابه است(حداقل به طور تقریبی یا تصادفی).
• دارای بعد Hausdorff است که بزرگتر از بعد مکانی(توپولوژیک) آن است (گرچه این شرط توسط منحنی های پرکننده فضا مانند منحنی هیلبرت برآورده نمی شود).
• دارای یک تعریف ساده و بازگشتی می باشد.

از آنجاییکه فراکتالها در تمام سطوح بزرگنمایی ، مشابه به نظر می رسند ، فرض می شود که بطور نامحدودی پیچیده اند(در اصطلاح غیر رسمی).اشیای طبیعی که تا حدودی به فراکتالها تقریب زده می شوند عبارتند از : ابرها ، رشته کوهها ، صاعقه ، خطوط ساحلی و برفدانه ها.با این حال ، تمام اشیای خودمشابه فراکتال نیستند ؛ برای مثال خط حقیقی (یک حط راست اقلیدسی) ظاهراً خودمشابه است اما سایر مشخصات فراکتال را دارا نیست.

ایجاد فراکتال

سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از :

• فراکتالهای زمان-گریز : این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند(مانند صفحه مختلط).مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات ، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.
• سیستم توابع تکراری : این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند.مجموعه کانتور ، فرش سیرپینسکی ، منحنی پینو ، برفدانه کخ ، مربع T ، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.
• فراکتالهای تصادفی : به جای فرایندهای قطعی ، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.

طبقه بندی فراکتالها

فراکتالها می توانند برحسب خودتشابهیشان نیز طبقه بندی شوند.سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود :

• خودتشابهی دقیق (کامل) : قویترین نوع خودتشابهی است؛فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود.فراکتالهای تعریف شده بوسیله سیستم توابع تکراری،اغلب خودتشابهی دقیق را نشان می دهند.
• شبه خودتشابهی(نیمه خودتشابهی) : یک حالت ناکامل از خودتشابهی است؛فراکتال در مقیاسهای مختلف ،تقریباً (نه دقیقاً) یکسان ظاهر می شود.فراکتالهای تعریف شده بوسیله روابط بازگشتی،معمولاً شبه خودتشابهند ولی خودتشابه کامل نیستند.
• خودتشابهی آماری : ضعیفترین نوع خودتشابهی است؛فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند.بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال،بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند. فراکتالهای تصادفی نمونه هایی از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند ؛ اما خودمشابه کامل یا شبه خودمشابه نیستند.

فراکتالها در طبیعت

فراکتالهای تقریبی، بسادگی در طبیعت یافت می شوند.این اشیا ساختاری خودمشابه در یک امتداد؛ اما در بازه مقیاس محدودی را نشان می دهند.مثالها عبارتند از: ابرها،برفدانه ها،کریستالها،رشته کوهها،صاعقه،شبکه رودخانه ها،گل کلم یا براکلی(نوعی کلم) وسیستم گردش خون (رگهای خونی) و رگهای ریوی.

درختان و سرخسها،فراکتالهای طبیعی هستند و می توانند بر روی یک کامپیوتر و با استفاده از یک الگوریتم بازگشتی مدلسازی شوند.این طبیعت بازگشتی در این مثالها مشهود است-یک شاخه از یک درخت یا ساقه یک سرخس،نسخه المثنایی از کل است؛هرچند نه یکسان اما در طبیعت همانند آن.

فراکتالها در هنر

الگوی فراکتالها در نقاشیهای هنرمند آمریکایی؛جکسون پولاک یافت شده است.در حالیکه به نظر می رسد نقاشیهای پولاک مرکب از قطرات نامنظم و آشفته است،تحلیل کامپیوتری،الگوی فراکتالها را در کار او یافته است.

فراکتالها در هنر و معماری آفریقایی نیز رایج است.خانه های مدور در دایره هایی از دایره ها ظاهر می شوند؛خانه های مستطیلی در مستطیلهایی از مستطیلها و مانند آنها.چنین الگوهای مقیاس بندی،در منسوجات،مجسمه سازی و پیکرتراشی آفریقایی نیز دیده می شود.

کاربردها

همانطوریکه تشریح شد،فراکتالهای تصادفی می توانند جهت توصیف بسیاری از اشیای نامنظم دنیای واقعی،بکار روند.سایر کاربردهای فراکتالها عبارتند از:

• طبقه بندی اسلایدهای امراض بافتی در پزشکی
• آنزیم-آنزیم شناسی
• تولید موسیقی نو
• تولید شکلهای مختلف هنر
• فشرده سازی سیگنال و تصویر
• زلزله شناسی
• طراحی بازیهای ویدیویی و کامپیوتری
• آنتنهای فراکتال
• تی شرتهای نئوهیپیها و سایر مدها
• تولید الگوهای استتار
• ساعت آفتابی دیجیتال

و ...

برای ساخت یک برفدانه کخ،با یک مثلث متساوی الاضلاع شروع کنید و ثلث میانی از هر پاره خط را با یک جفت پاره خط که یک برآمدگی متقارن را شکل می دهد،جایگزین کنید.سپس جایگزینی مشابهی را به طور نامحدودی بر روی هر پاره خط شکل حاصل از مرحله قبل، اعمال کنید.با هر تکرار،محیط شکل با ضریب 3/4 افزایش می یابد.برفدانه کخ،نتیجه تعداد نامتناهی از این تکرارهاست و طولی نامتناهی دارد؛در حالیکه مساحت آن متناهی باقی می ماند.به همین دلیل،برفدانه کخ و ساختارهای مشابه آن،گاهی "منحنی های هیولایی" نامیده می شوند.